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如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点O(0,0),A(4,0),B(5,5).点C是y轴负半轴上一点,直线l经过B,C两点,且tan∠OCB=59.(1)求抛物线的解析式;(2)求直线l的解析式;(3)过O,B两点作
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如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点O(0,0),A(4,0),B(5,5).点C是y轴负半轴上一点,直线l经过B,C两点,且tan∠OCB=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线l的解析式;
(3)过O,B两点作直线,如果P是直线OB上的一个动点,过点P作直线PQ平行于y轴,交抛物线于点Q.问:是否存在点P,使得以P,Q,B为顶点的三角形与△OBC相似?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线l的解析式;
(3)过O,B两点作直线,如果P是直线OB上的一个动点,过点P作直线PQ平行于y轴,交抛物线于点Q.问:是否存在点P,使得以P,Q,B为顶点的三角形与△OBC相似?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0),(4,0),
可设抛物线解析式为y=ax(x-4),
把B(5,5)代入,
解得a=1,
∴抛物线解析式为y=x2-4x.(4分)
(2)过点B作BD⊥y轴于点D.
∵点B的坐标为(5,5),
∴BD=5,OD=5.
∵tan∠OCB=
=
,
∴CD=9,
∴OC=CD-OD=4.
∴点C坐标为(0,-4).(2分)
设直线l的解析式为y=kx-4,
把B(5,5)代入,得5=5k-4,
解得k=
.
∴直线l的解析式为y=
x-4.(2分)
(3)当点P在线段OB上(即0<x<5时),
∵PQ∥y轴,
∴∠BPQ=∠BOC=135度.
当
=
时,△PBQ∽△OBC.
这时,抛物线y=x2-4x与直线l的交点就是满足题意的点Q,
那么x2-4x=
x-4,
解得x1=5(舍去),x2=
,
∴P1(
,
);(2分)
又当
=
时,△PQB∽△OBC.
∵PB=
(5-x),PQ=x-(x2-4x)=5x-x2,OC=4,OB=5
,
∴
=
,
整理得2x2-15x+25=0,
解得x1=5(舍去),x2=
,
∴P2(
,
).(2分)
当点P在点O左侧(即x<0=时),
∵PQ∥y轴,
∴∠BPQ=45°,△BPQ中不可能出现135°的角,这时以P,Q,B为顶点的三角形不可能与△OBC相似.
当点P在点B右侧(即x>5)时,
∵∠BPQ=135°,
∴符合条件的点Q即在抛物线上,同时又在直线l上;
或者即在抛物线上,同时又在Q2,B所在直线上(Q2为上面求得的P2所对应).
∵直线l(或直线Q2B)与抛物线的交点均在0<x≤5内,而直线与抛物线交点不可能多于两个,
∴x>5时,以P,Q,B为顶点的三角形也不可能与△OBC相似.
综上所述,符合条件的点P的坐标只有两个:P1(
,
),P2(
,
).(2分)
可设抛物线解析式为y=ax(x-4),
把B(5,5)代入,
解得a=1,
∴抛物线解析式为y=x2-4x.(4分)
(2)过点B作BD⊥y轴于点D.
∵点B的坐标为(5,5),
∴BD=5,OD=5.
∵tan∠OCB=
BD |
CD |
5 |
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∴CD=9,
∴OC=CD-OD=4.
∴点C坐标为(0,-4).(2分)
设直线l的解析式为y=kx-4,
把B(5,5)代入,得5=5k-4,
解得k=
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∴直线l的解析式为y=
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(3)当点P在线段OB上(即0<x<5时),
∵PQ∥y轴,
∴∠BPQ=∠BOC=135度.
当
PB |
OB |
PQ |
OC |
这时,抛物线y=x2-4x与直线l的交点就是满足题意的点Q,
那么x2-4x=
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解得x1=5(舍去),x2=
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∴P1(
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又当
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OC |
PQ |
OB |
∵PB=
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∴
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5x−x2 | ||
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整理得2x2-15x+25=0,
解得x1=5(舍去),x2=
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∴P2(
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当点P在点O左侧(即x<0=时),
∵PQ∥y轴,
∴∠BPQ=45°,△BPQ中不可能出现135°的角,这时以P,Q,B为顶点的三角形不可能与△OBC相似.
当点P在点B右侧(即x>5)时,
∵∠BPQ=135°,
∴符合条件的点Q即在抛物线上,同时又在直线l上;
或者即在抛物线上,同时又在Q2,B所在直线上(Q2为上面求得的P2所对应).
∵直线l(或直线Q2B)与抛物线的交点均在0<x≤5内,而直线与抛物线交点不可能多于两个,
∴x>5时,以P,Q,B为顶点的三角形也不可能与△OBC相似.
综上所述,符合条件的点P的坐标只有两个:P1(
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