如图，抛物线y=-12x2+bx+c与一次函数y=-x+4分别交y轴、x轴于A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设P（x，y）是抛物线在第一象限内的一个动点，过点P作直线PH⊥x轴于点H，交直线AB于点

Question

如图，抛物线y=-(1)/(2)x²+bx+c与一次函数y=-x+4分别交y轴、x轴于A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设P（x，y）是抛物线在第一象限内的一个动点，过点P作直线PH⊥x轴于点H，交直线AB于点M．
①求当x取何值时，PM有最大值？最大值是多少？
②当PM取最大值时，以A、P、M、N为顶点构造平行四边形，求第四个顶点N的坐标．

Answer 1

（1）∵一次函数y=-x+4分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A（0，4），B（4，0），
把A（0，4），B（4，0）代入y=-(1)/(2)x²+bx+c可得

c=4

-8+4b+c=0

，
解得

b=1

c=4

，
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x²+x+4．

（2）①如图1中，设P（x，-(1)/(2)x²+x+4），则M（x，-x+4）．

∴PM=-(1)/(2)x²+m+4-（-x+4）=-(1)/(2)x²+2x=-(1)/(2)（x-2）²+2，
∵-(1)/(2)<0，
∴x=2时，pM的值最大，最大值为2．

②由①可知P（2，4），M（2，2），

当以A、P、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，N₁（0，6），N₂（4，2），N₃（0，2）．