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(2012•荆州)已知:y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当
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(2012•荆州)已知:y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)当k=1时,函数为一次函数y=-2x+3,其图象与x轴有一个交点.…(1分)
当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,
令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0.
△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.…(2分)
综上所述,k的取值范围是k≤2.…(3分)
(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,
∴k<2,且k≠1.
由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1①,
将①代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:
2k(x1+x2)=4x1x2.…(5分)
又∵x1+x2=
,x1x2=
,
∴2k•
=4•
.…(6分)
解得:k1=-1,k2=2(不合题意,舍去).
∴所求k值为-1.…(7分)
②如图,∵k1=-1,y=-2x2+2x+1=-2(x-
)2+
.
且-1≤x≤1.…(8分)
由图象知:当x=-1时,y最小=-3;当x=
时,y最大=
.…(9分)
∴y的最大值为
,最小值为-3.…(10分)
当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,
令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0.
△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.…(2分)
综上所述,k的取值范围是k≤2.…(3分)
(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,
∴k<2,且k≠1.
由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1①,
将①代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:
2k(x1+x2)=4x1x2.…(5分)
又∵x1+x2=
2k |
k−1 |
k+2 |
k−1 |
∴2k•
2k |
k−1 |
k+2 |
k−1 |
解得:k1=-1,k2=2(不合题意,舍去).
∴所求k值为-1.…(7分)
②如图,∵k1=-1,y=-2x2+2x+1=-2(x-
1 |
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且-1≤x≤1.…(8分)
由图象知:当x=-1时,y最小=-3;当x=
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∴y的最大值为
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