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如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴正半轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3),点P是x轴上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点C,交直线AB于点D,设P(x,0).(1)求抛物线的函数表达
题目详情
如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴正半轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3),点P是x轴上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点C,交直线AB于点D,设P(x,0).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当0<x<3时,求线段CD的最大值;
(3)在△PDB和△CDB中,当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时,求相应x的值;
(4)过点B,C,P的外接圆恰好经过点A时,x的值为___.(直接写出答案)
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当0<x<3时,求线段CD的最大值;
(3)在△PDB和△CDB中,当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时,求相应x的值;
(4)过点B,C,P的外接圆恰好经过点A时,x的值为___.(直接写出答案)
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴正半轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3),
∴-9+3b+c=0,c=3,
∴b=2,
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(2)∵A(3,0),B(0,3),∴直线AB解析式为y=-x+3,
∵P(x,0).
∴D(x,-x+3),C(x,-x2+2x+3),
∵0∴CD=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x=-(x-
)2+
,
当x=
时,CD最大=
;
(3)由(2)知,CD=|-x2+3x|,DP=|-x+3|
①当S△PDB=2S△CDB时,
∴PD=2CD,
即:2|-x2+3x|=|-x+3|,
∴x=±
或x=3(舍),
②当2S△PDB=S△CDB时,
∴2PD=CD,
即:|-x2+3x|=2|-x+3|,
∴x=±2或x=3(舍),
即:综上所述,x=±
或x=±2;
(4)直线AB解析式为y=-x+3,
∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x,
∵过点B,C,P的外接圆恰好经过点A,
∴过点B,C,P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上,也在线段PC的垂直平分线上,
∴
=x,
∴x=±
,
故答案为:±
∴-9+3b+c=0,c=3,
∴b=2,
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(2)∵A(3,0),B(0,3),∴直线AB解析式为y=-x+3,
∵P(x,0).
∴D(x,-x+3),C(x,-x2+2x+3),
∵0
3 |
2 |
9 |
4 |
当x=
3 |
2 |
9 |
4 |
(3)由(2)知,CD=|-x2+3x|,DP=|-x+3|
①当S△PDB=2S△CDB时,
∴PD=2CD,
即:2|-x2+3x|=|-x+3|,
∴x=±
1 |
2 |
②当2S△PDB=S△CDB时,
∴2PD=CD,
即:|-x2+3x|=2|-x+3|,
∴x=±2或x=3(舍),
即:综上所述,x=±
1 |
2 |
(4)直线AB解析式为y=-x+3,
∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x,
∵过点B,C,P的外接圆恰好经过点A,
∴过点B,C,P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上,也在线段PC的垂直平分线上,
∴
-x2+2x+3 |
2 |
∴x=±
3 |
故答案为:±
3 |
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