已知F是双曲线C：x2-y28=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，点P的纵坐标为．

Question

已知F是双曲线C：x2- (y2)/(8)=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6 √(6))，当△APF周长最小时，点P的纵坐标为___．

Answer 1

设双曲线的左焦点为F'，
由双曲线C：x2-(y2)/(8)=1可得a=1，b=2√(2)，c=3，
即有F（3，0），F'（-3，0），
△PFA周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，
当P在左支上运动到A，P，F'共线时，|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|，则有△APF周长取得最小值，
直线AF′的方程为(x)/(-3)+(y)/(6√(6))=1，与双曲线方程联立，得到点P的纵坐标为2√(6)，
故答案为：2√(6)．