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p(x0,y0)(x0不=+-a)是双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为1/5,过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足
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p(x0,y0)(x0不=+-a)是双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为1/5,过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足向量OC= λ向量OA+向量OB,求 λ的值 .
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答案和解析
(1)∵P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E: x^2a^2-y^2b^2=1(a>0,b>0)上一点,
∴ x0^2a^2-y0^2b^2=1,
由题意又有 y0x0-a•y0x0+a=15,
可得a^2=5b^2,c^2=a^2+b^2,
则e= c/a=根号30/5,
(2)联立 {x^2-5y^2=5b^2
y=x-c,
得4x^2-10cx+35b^2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2= 5c/2,x1•x2= 35b^2/4,
设 OC→=(x3,y3), OC→=λOA→+OB→,
即 {x3=λx1+x2
y3=λy1+y2
又C为双曲线上一点,即x3^2-5y3^2=5b^2,
有(λx1+x2)^2-5(λy1+y2)^2=5b^2,
化简得:λ^2(x1^2-5y1^2)+(x2^2-5y2^2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b^2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x1^2-5y1^2=5b^2,x2^2-5y2^2=5b^2,
而x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c^2=10b^2,
得λ2+4λ=0,解得λ=0或-4.
∴ x0^2a^2-y0^2b^2=1,
由题意又有 y0x0-a•y0x0+a=15,
可得a^2=5b^2,c^2=a^2+b^2,
则e= c/a=根号30/5,
(2)联立 {x^2-5y^2=5b^2
y=x-c,
得4x^2-10cx+35b^2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2= 5c/2,x1•x2= 35b^2/4,
设 OC→=(x3,y3), OC→=λOA→+OB→,
即 {x3=λx1+x2
y3=λy1+y2
又C为双曲线上一点,即x3^2-5y3^2=5b^2,
有(λx1+x2)^2-5(λy1+y2)^2=5b^2,
化简得:λ^2(x1^2-5y1^2)+(x2^2-5y2^2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b^2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x1^2-5y1^2=5b^2,x2^2-5y2^2=5b^2,
而x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c^2=10b^2,
得λ2+4λ=0,解得λ=0或-4.
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