直线l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒过定点C，圆C是以点C为圆心，以4为半径的圆．（1）求圆C的方程；（2）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）2+（y-7sinθ）2=1，过点M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE

Question

直线l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒过定点C，圆C是以点C为圆心，以4为半径的圆．
（1）求圆C的方程；
（2）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，过点M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求

CE

CF

的最大值和最小值．

Answer 1

（1）直线l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒过定点C（4，0），半径为4，圆C的方程：（x-4）²+y²=16．
（2）设∠ECF=2α
则

CE

•

CF

=|

CE

||

CF

|  COS2α=16COS2α=32cos^2_α-16，
在 Rt△PCE中，cosα=(r)/(|PC|)=(4)/(|PC|)
由圆的几何性质得|MC|-1≤|PC|≤|MC|+1，
∴6≤|PC|≤8
∴(1)/(2)≤cosα≤(2)/(3)，由此可得-8≤

CE

•

CF

≤ -(16)/(9)，
∴

CE

•

CF

的最大值为-(16)/(9)最小值为-8．