已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W．（Q

Question

已知圆C：（x+1）²+y²=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设过点C的直线l₁交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l₂交曲线E于R，T两点，且l₁⊥l₂，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点）
①设W（x_°，y_°），证明：(x°2)/(2)+y°2＜1；
②求四边形QRST的面积的最小值．

Answer 1

（1）设动圆半径为r，
则|PC|＝2√(2)−r，|PD|＝r，|PC|+|PD|＝2√(2)＞|CD|＝2，
由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，
其方程为(x2)/(2)+y2＝1．（2分）
（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，
则有x°2+y°2＝1，
又因Q，S，R，T为不同的四个点，
(x°2)/(2)+y°2＜1．（4分）
②若l₁或l₂的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．（6分）
若两条直线的斜率存在，设l₁的斜率为k₁，
则l₁的方程为y=k₁（x+1），
联立

y＝k1(x+1)

(x2)/(2)+y2＝1

，
得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
则|QS|＝2√(2)(k2+1)/(2k2+1)，（8分）
同理得|RT|＝2

作业帮用户 2017-11-05

问题解析

（1）设动圆半径为r，则|PC|＝2√(2)−r，|PD|＝r，|PC|+|PD|＝2√(2)＞|CD|＝2，由椭圆定义能求出点P的轨迹E的方程．
（2）①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，由Q，S，R，T为不同的四个点，能够证明(x°2)/(2)+y°2＜1．
②若l₁或l₂的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l₁的斜率为k₁，则l₁的方程为y=k₁（x+1）

y＝k1(x+1)

(x2)/(2)+y2＝1

，得|QS|＝2√(2)(k2+1)/(2k2+1)，同理得|RT|＝2√(2)(k2+1)/(k2+2)，由此能求出四边形QRST的面积取得最小值．

名师点评

本题考点：

轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：

本题考查点的轨迹方程的求法，考查不等式的证明，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

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