两个简单的积分问题（求弧长）1题y=e^x,x属于[0,1]求弧长2题x=三分之一*根号y*（y-3）,y属于[1,9]求弧长

Question

两个简单的积分问题（求弧长）
1题 y=e^x,x属于 [0,1]求弧长
2题 x=三分之一*根号y*（y-3）,y属于[1,9]求弧长

Answer 1

第一题：
y = e^x,dy/dx = e^x
弧长= ∫(0->1) √[1+(e^x)²] dx
令u = √[1+e^(2x)] dx,x = (1/2)ln(u²-1)
dx = u/(u²-1) du
当x = 0,u = √2；当x = 1,u = √(1+e²)
原式= ∫(0->√(1+e²)) u²/(u²-1) du
= ∫ (u²-1+1)/(u²-1) du
= ∫ [1 + 1/(u²-1)] du
= u - arctanh(u)
= √(1+e²) - arctanh[√(1+e²)] - √2 + arctanh(√2)
=2.0035...
第二题：
x = (1/3)*√y*(y-3),dx/dy = (y-1)/(2√y)
弧 = ∫(1->9) √[1+(y-1)²/(4y)] dy
= ∫ √(y/4 + 1/4y + 1/2) dy
= (1/2)∫ (y+1)/√y dy
令u = √y,dy = 2u du
当y = 1,u = 1；当y = 9,u = 3
原式= ∫(1->3) (u² + 1) du
= u³/3 + u
= 3³/3 + 3 - 1/3 - 1
= 32/3