为什么已知两个圆,直接把方程相减,就能得到他们的对称直线呢!两个圆相交或相离,直接相减就能得到对应的直线方程,排除内含跟内切的那种情况!

Question

为什么已知两个圆,直接把方程相减,就能得到他们的对称直线呢!
两个圆相交或相离,直接相减就能得到对应的直线方程,排除内含跟内切的那种情况!

Answer 1

已知：圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0和圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0相交于A、B两点求证：圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0同一法：证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆R与圆S的两个交点,所以,x1^2+y1^2+dx1+ey1+f=0 ①x1^2+y1^2+mx1+ny1+p=0 ②x2^2+y2^2+dx2+ey2+f=0 ③x2^2+y2^2+mx2+ny2+p=0 ④所以,①-②,得(d-m)x1+(e-n)y1+(f-p)=0 ⑤③-④,得(d-m)x2+(e-n)y2+(f-p)=0 ⑥由⑤、⑥,得A(x1,y1)、B(x2,y2)两点同时适合直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0因为过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线有且只有一条所以,直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.因为AB是圆R与圆S的公共弦所以,圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0即有圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0 ⑦圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0 ⑧⑦-⑧,得(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0所以,圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0