已知函数F(X),对任意X,Y∈R都有F(X+Y)=F(X)+F(Y),且X＞0时,F(X)＜0,F(1)=-2.求F（X）在闭区间－3,3上的最大最小值.

Question

已知函数F(X),对任意X,Y∈R都有F(X+Y)=F(X)+F(Y),且X＞0时,F(X)＜0,F(1)=-2.求F（X）在闭区间－3,3上的最大最小值.

Answer 1

令x=1,y=0
F(1+0)=F(1)+F(0)
F(0)=0
令y=-x
F(0)=F(x)+F(-x)
F(x)=-F(-x)
∴原函数为奇函数
∵∨x,y∈(0,＋∞),xF(x)-F(y)=F(x)+F(-y)=F(x-y)
x-y<0
F(x-y)>0
F(x)>F(y)
原函数为减函数
F(-3)最大,F(3)最小
F(-3)=F(-1-1-1)=3*F(-1)=3*2=6
F(3)=F(1+1+1)=-6