如图，AB为O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交O于

Question

如图，AB为 O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交 O于点M和点N，已知 O的半径为l，设运动时间为t秒．

（1）若AC=5，则当t=___时，四边形AMQN为菱形；当t=___时，NQ与 O相切；
（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．

Answer 1

（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5-2t，
∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5-2t，解得t=(5)/(3)；
当∠ONQ=90°时，NQ与 O相切，如图，

OP=t-1，OQ=AC-OA-QC=5-1-t=4-t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴(ON)/(OQ)=(OP)/(ON)，即(1)/(4-t)=(1-t)/(1)，
整理得t²-5t+5=0，解得t₁=(5-√(5))/(2)，t₂=(5+√(5))/(2)（1≤t≤2.5，故舍去），
即当t=(5-√(5))/(2)时，NQ与 O相切；
故答案为(5)/(3)，(5-√(5))/(2)；
（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：
∵四边形AMQN为正方形．
∴∠MAN=90°，
∴MN为 O的直径，
而∠MQN=90°，
∴点Q在 O上，
∴AQ为直径，
∴点P在圆心，
∴MN=AQ=2，AP=1，
∴t=AP=1，CQ=t=1，
∴AC=AQ+CQ=2+1=3．