概率题求证：Pr(X=x,Y=y)=Pr(X=x)Pr(Y=y)求证当X和Y互相独立时,Pr(X=x,Y=y)=Pr(X=x)Pr(Y=y),给的提示是使用条件密度的定义,Pr(X|Y=y)=Pr(X=x,Y=y)/Pr(Y=y)

Question

概率题求证：Pr(X=x,Y=y)=Pr(X=x)Pr(Y=y)
求证当X和Y互相独立时,Pr(X=x,Y=y)=Pr(X=x)Pr(Y=y),给的提示是使用条件密度的定义,Pr(X|Y=y)=Pr(X=x,Y=y)/Pr(Y=y)

Answer 1

Pr(X=x|Y=y)=Pr(X=x,Y=y)/Pr(Y=y)
由于x,y独立,即Y=y的条件对X的分布不造成影响
即Pr(X=x|Y=y)=Pr(X=x)
所以
Pr(X=x)=Pr(X=x,Y=y)/Pr(Y=y)
两边同乘Pr(Y=y)
即得
Pr(X=x,Y=y)=Pr(X=x)Pr(Y=y)