已知双曲线C：2x^2-y^2=2与点P（1,2）1,求过P（1,2）点的直线l的斜率取值范围,使得l与C分别有1个交点,2个交点,没有交点2,若Q（1,1）,试判断以Q为中点的弦是否存在

Question

已知双曲线C：2x^2-y^2=2与点P（1,2）
1,求过P（1,2）点的直线l的斜率取值范围,使得l与C分别有1个交点,2个交点,没有交点
2,若Q（1,1）,试判断以Q为中点的弦是否存在

Answer 1

(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程,并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=〔2(k2－2k)〕2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.
③当Δ＜0,即k＞时,方程(*)无解,l与C无交点.
综上知：当k=±根号2,或k=2分之3,或k不存在时,l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时,l与C有两个交点；
当k＞时,l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在.
参考下面网址里有答案第2题的答案