硬币证明题在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币.这些硬币中可能有一些不完全在桌面内,也可能有重叠的现象,但如果再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时,新放的硬币就必定

Question

硬币证明题
在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币.这些硬币中可能有一些不完全在桌面内,也可能有重叠的现象,但如果再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时,新放的硬币就必定与原先某些硬币重叠.
请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖.
这好像是一道经典的数学逻辑题,但我想了半天,也证不出来.

Answer 1

解法1：要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠,两个硬币的圆心距必须大于直径.也就是说,对于桌面上任意一点,到最近的圆心的距离都小于2,所以,整个桌面可以用n个半径为2的硬币覆盖.把桌面和硬币的尺度都缩小一倍,那么,长、宽各是原桌面一半的小桌面,就可以用n个半径为1的硬币覆盖.那么,把原来的桌子分割成相等的4块小桌子,那么每块小桌子都可以用n个半径为1的硬币覆盖,因此,整个桌面就可以用4n个半径为1的硬币覆盖.
解法2：桌面内每个乡邻硬币之间的最短距离小于硬币直径2r,但这是一个必要不充分条件,充分条件应该是每两个硬币间距离进一步小于2*（根号2r-r）,最外面的硬币边缘与桌面边缘的距离应小于 根号2r-r.
如此我们认为每个硬币周围的空白地区小于以 根号2r-r 宽度的一个圆环.那么实际上只要覆盖全部n个 根号2 为半径的圆就可以了.
接下来看,4个r半径的圆能覆盖的面积.取他们内部最大的正方形,其边长正好为 根号2r,也就是说四个拼在一起可以组成个边长为2*21/2r的正方形,可以覆盖上面直径半径为 根号2r 的圆.一个可以,4N个也可以.
解法3：假如先前N个中没有重叠且边上的都超出桌子的边上且全都是紧靠着的.那么根据题意就可以有:
空隙个数Y=3N/2+3(自己推算)
每一个空都要一个圆来盖
桌面就一共有圆的数为:
Y+N=3N/2+3
=5N/2+3