已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分

Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
将代入椭圆E的方程，得
解得，所以椭圆E的方程为．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，
∴直线l的方程为．
由得x²+2bx+2b²-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则．
又，，
故=．
又，
所以上式分子=
=
故k₁+k₂=0．