已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,OA+OB与a=（3,-1）共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点,且OM=λOA+μOB（λ,μ∈R）,证

Question

已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,OA+OB与a=（3,-1）共线.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点,且OM=λOA+μOB（λ,μ∈R）,证明（λ^2）+（μ^2）为定值.
注：上述a、OA、OB、OM皆为向量!

Answer 1

设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0),F(c,0),
则直线AB的方程为y=x-c,代入椭圆化简得
(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.
令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a2c/(a2+b2)
x1x2=(a2c2-a2b2)/(a2+b2).
由向量OA+向量OB=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1).向量OA+向量OB与a共线,得
3(y1+y2)+(x1+x2)=0.所以x1+x2=3c/2
即2a2c/(a2+b2)=3c/2.所以a2=3b2,c=√6·a/3
离心率e=√6/3
证明：由上知a2=3b2,所以椭圆x2/a2+y2/b2=1化为
x2+3y2=3b2.设向量OM=(x,y),由已知,得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2).
所以x=λx1+μx2 y=λy1+μy2.
因为M(x,y)在椭圆上,所以(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2,
即λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2……(1)
由前面得x1+x2=3c/2,a2=3c2/2,b2=c2/2.
x1x2=(a2c2-a2b2)/(a2+b2)=3c2/8,
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
``````````=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2
``````````=3c2/2-9c2/2+3c2
``````````=0.
又x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2,代入(1),得λ2+μ2=1是定值.