设ABM是椭圆X^2/4+Y^2=1的三点满足OM=3/5OA+4/5OB证明AB中点必在椭圆上平面直角坐标系XOY中，设A、B、M是椭圆C:x^2/4+y^2=1上的三点，若OM=3/5OA+4/5OB（均为向量）证明线段AB的中点在椭圆X^2/2+2y^2=1上。

Question

设ABM是椭圆X^2/4+Y^2=1的三点满足OM=3/5OA+4/5OB证明AB中点必在椭圆上
平面直角坐标系XOY中，设A、B、M是椭圆C:x^2/4+y^2=1上的三点，若OM=3/5OA+4/5OB（均为向量）证明线段AB的中点在椭圆X^2/2+2y^2=1上。

Answer 1

设向量OA=(2cosα,sinα),向量OB=(2cosβ,sinβ),线段AB的中点为N(x0,y0)
向量ON=（cosα+cosβ,(3sinα+4sinβ)/2）
向量OM=（2（3cosα+4cosβ)/5,+(3sinα+4sinβ)/5）
因为M在椭圆C上,所以（3cosα+4cosβ)^2+(3sinα+4sinβ)^2=25,整理可得
cosαcosβ+sinαsinβ=0,即cos(α-β)=0.
所以X0^2+4y0^2==（cosα+cosβ^2+(sinα+sinβ)^2=2+cosαcosβ+sinαsinβ=2
所以 线段AB的中点为N(x0,y0)在曲线X^2+4y^2=2上,即在椭圆X^2/2+2y^2=1上.
如果没学参数方程,可从三角函数的平方关系式出发讲解.