如图,在△ABC中,角C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上运动,若AP=x,且○O的圆心在线段BP上,圆O与AB,AC都相切,圆o的半径是y,请求出y与x的函数关系式

Question

如图,在△ABC中,角C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上运动,若AP=x,且○O的圆心在线段BP上,圆O与AB,AC都相切,圆o的半径是y,请求出y与x的函数关系式

Answer 1

设⊙O的半径为r,⊙O切AC,AB分别于D,E,
∵AC=8,AB=10,C=90,
∴BC=6,
又∵P在AC上且AP=2,
∴PC=AC-AP=8-2=6,
∴△PCB是等腰直角三角形,
∴PB=√2BC=6√2,∠PBC=45°,
∵OD⊥AC,
∴OD‖BC,
∴∠POD=45°,
∴△PDO也是等腰直角三角形,
∴PD=OD=r,PO=√2r,
∴OB=PB-PO=√2(6-r),
∴AD=AP PD=2 r,
∴AE=AD=2 r,
∴BE=AB-AE=10-(2 r)=8-r,
在直角△BOE中,OE=r,OB=√2(6-r),BE=8-r,
∵OE^2 BE^2=OB^2,
∴r^2 (8-r)^2=[√2(6-r)]^2,
∴r^2 r^2-16r 64=2r^2-24r 72,
∴8r=8,
∴r=1,
即⊙O 的半径是1