如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线，且它们分别交于D、P．（1）若∠A=30°，求∠BDC、∠BPC．（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变

Question

如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线，且它们分别交于D、P．

（1）若∠A=30°，求∠BDC、∠BPC．
（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？

Answer 1

（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=(1)/(2)∠ABC，∠DCB=(1)/(2)∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=(1)/(2)（180°-∠A）=90°-(1)/(2)∠A，
在△BCD中，
∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）
=180°-（90°-(1)/(2)∠A）
=90°+(1)/(2)∠A
=90°+15°
=105°；
∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP=(1)/(2)∠CBM，∠BCP=(1)/(2)∠BCN，
∴∠CBP+∠BCP
=(1)/(2)∠CBM+(1)/(2)∠BCN
=(1)/(2)（∠CBM+∠BCN）
=(1)/(2)（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=(1)/(2)（180°+∠A），
∴∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）
=180°-(1)/(2)（180°+∠A）
=90°-(1)/(2)∠A
=90°-(1)/(2)×30°
=75°．
（2）∠D+∠P的值不变．
∵由（1）知∠D=90°+(1)/(2)∠A，∠P=90°-(1)/(2)∠A，
∴∠D+∠P=180°．