已知数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a2+a4=a1+a5，a7+a9=a8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求使得am•am+1•am+2=am+am+1+am+2成立的所有正整数m的值．

Question

已知数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a₂+a₄=a₁+a₅，a₇+a₉=a₈．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使得a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立的所有正整数m的值．
（Ⅲ）在数列{a_n}的奇数项中任取s项，偶数项中任取k项（s>1，k>1，s、k∈N^*），按照某一顺序排列后成等差数列，当s+k取最大值时，求所有满足条件的数列．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，
∴a₅=a₁+4，a₇=a₁+6，a₉=a₁+8，a₄=2a₂，a₈=8a₂，
∵a₂+a₄=a₁+a₅，a₇+a₉=a₈，
∴a₂+2a₂=a₁+4+a₁，2a₁+14=8a₂，
∴a₁=1，a₂=2，
∴a_n=

n，n为奇数

2(n)/(2)，n为偶数

；
（Ⅱ）∵a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立，
∴由上面可以知数列{a_n}为：1，2，3，4，5，8，7，16，9，…
当m=1时等式成立，即 1+2+3=-6=1×2×3；等式成立．
当m=2时等式成立，即2×3×4≠2+3+4；等式不成立．
当m=3、4时等式不成立；
当m≥5时，
∵a_m•a_m+1•a_m+2为偶数，a_m+a_m+1+a_m+2为奇数，
∴可得m取其它值时，不成立，
∴m=1时成立；
（Ⅲ）设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N*，s≥2，k≥2．
因为数列{a_n}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，
因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，
则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．
设抽出的三个偶数从小到大依次为2ⁱ，2^j，2^p（1≤i<j<p），
则(2i+2j)/(2)=2^i-1+2^j-1为奇数，而i≥1，j≥2，则2^j-1为偶数，2^i-1为奇数，所以i=1．
又(2j+2p)/(2)=2^j-1+2^p-1为奇数，而j≥2，p≥3，则2^j-1与2^p-1均为偶数，矛盾．
又因为k≥2，所以k=2，即偶数只有两项，
则奇数最多有3项，即s+k的最大值为5．               
设此等差数列为d₁，d₂，d₃，d₄，d₅，则d₁，d₃，d₅为奇数，d₂，d₄为偶数，且d₂=2．
由d₁+d₃=2d₂=4，得d₁=1，d₃=3，此数列为1，2，3，4，5．
同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．
综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．