在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为An，令an=log2An，n∈N*．（1）数列{an}的通项公式为an=n+22n+22；（2）Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2=t

Question

在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N^*．
（1）数列{a_n}的通项公式为a_n=

(n+2)/(2)

(n+2)/(2)

；
（2）T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2=

(tan(n+2)−tan2)/(tan1)-n

(tan(n+2)−tan2)/(tan1)-n

．

Answer 1

（1）设在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列为{b_n}，
则 b₁=1，b_n+2=2=1×qⁿ⁺¹，即 qⁿ⁺¹=2，q为此等比数列的公比．
∴A_n=1•q•q²•q³…qⁿ⁺¹=q^{1+2+3+…+（n+1）}=q((n+1)(n+2))/(2)=( qn+1)(n+2)/(2)=2(n+2)/(2)，
∴a_n=log₂A_n=(n+2)/(2)，
故答案为：(n+2)/(2)．
（2）由（1）可得a_n=log₂A_n=(n+2)/(2)，又tan1=tan[（n+1）-1]=(tan(n+1)−tann)/(1+tan(n+1)tann)，∴tan（n+1）tann=(tan(n+1)−tann)/(tan1)−1，
∴tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）═(tan(n+2)−tan(n+1))/(tan1)-1，n∈N^*．
T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2 =（(tan3−tan2)/(tan1)-1）+（(tan4−tan3)/(tan1)-1）+（(tan5−tan4)/(tan1)-1）+…+（(tan(n+2)−tan(n+1))/(tan1)-1）
=(tan(n+2)−tan2)/(tan1)-n，n∈N^*，
故答案为：(tan(n+2)−tan2)/(tan1)-n．