已知数列{an}满足：a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N*）（1）记bn＝an2n，证明：数列{bn}为等差数列．（2）求数列{an}的通项公式an及前n项和为Sn．

Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（1）记bn＝(an)/(2n)，证明：数列{b_n}为等差数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和为S_n．

Answer 1

（1）由已知有：(an+1)/(2n+1)＝(an)/(2n)+1(n∈N*)，
即：b_n+1-b_n=1（n∈N^*）
∴数列{b_n}为等差数列，其首项为1，公差为1       
（2）由（1）知：b_n=1+（n-1）×1=n（n∈N^*）
即：(an)/(2n)＝n(n∈N*)∴a_n=n2ⁿ（n∈N^*）
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
两式相减，得：
−Sn＝21+22+23+…+2n−n2n+1＝(2(1−2n))/(1−2)−n2n+1＝2n+1−2−n2n+1
∴a_n=n2ⁿS_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2