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在△ABC中,若AD是∠BAC的角平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F(如图(1)),则可以得到以下两个结论:①∠AED+∠AFD=180°;②DE=DF.那么在△ABC中,仍然有
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在△ABC中,若AD是∠BAC的角平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F(如图(1)),则可以得到以下两个结论:
①∠AED+∠AFD=180°;②DE=DF.
那么在△ABC中,仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线,点E和点F,分别在AB和AC上”,请探究以下两个问题:
(1)若∠AED+∠AFD=180°(如图(2)),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则请举出反例.
(2)若DE=DF,则∠AED+∠AFD=180°是否成立?(只写出结论,不证明)
①∠AED+∠AFD=180°;②DE=DF.
那么在△ABC中,仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线,点E和点F,分别在AB和AC上”,请探究以下两个问题:
(1)若∠AED+∠AFD=180°(如图(2)),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则请举出反例.
(2)若DE=DF,则∠AED+∠AFD=180°是否成立?(只写出结论,不证明)
▼优质解答
答案和解析
(1)DE=DF.
理由如下:
过点D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN,
∵∠AED+∠AFD=180°,∠AFD+∠DFN=180°,
∴∠DFN=∠AED,
∴△DME≌△DNF(AAS),
∴DE=DF;
(2)不一定成立.
如图,若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立,
经过(1)的证明,若在垂线段上或两侧则成立,
所以不一定成立.
理由如下:
过点D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN,
∵∠AED+∠AFD=180°,∠AFD+∠DFN=180°,
∴∠DFN=∠AED,
∴△DME≌△DNF(AAS),
∴DE=DF;
(2)不一定成立.
如图,若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立,
经过(1)的证明,若在垂线段上或两侧则成立,
所以不一定成立.
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