已知抛物线y方=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0）,F是抛物线的焦点,且AF、MF、BF的长成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交与一点N.1.求N的坐标.用x0表示.2.过点N与MN垂直的直线交抛物线于P

Question

已知抛物线y方=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0）,F是抛物线的焦点,且AF、MF、BF的长成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交与一点N.
1.求N的坐标.用x0表示.
2.过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点,若MN=4根2,求三角形MPQ的面积.
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Answer 1

1.抛物线,所以AF、MF、BF的长成等差数列可知,A、M、F到准线的距离为等差数列,那么A、M、F的横坐标成等差数列,可设A(2x0-a,y1),B(2x0+a,y2)
则,AB中点为D(x0,(y1+y2)/2),KAB=(y2-y1)/2a,则AB的中垂线DN方程为
y-(y1+y2)/2=2a(x-x0)/(y1-y2),y=0时,x=x0-(y1^2-y2^2)/4a=x0-(8x1-8x2)/4a=x0-(-16a)/4a=x0+4,即N的坐标为(x0+4,0)
2.|MN|=4根号2=根号(16+y0^2),所以y0^2=16,则x0=y0^2/8=2,KMN=-y0/4
则KPQ=4/y0,PQ方程为y=4/y0(x-x0-4)=4/yo(x-6)代人曲线方程得,16/y0^2(x-6)^2=8x,即(x-6)^2=8x,解得x=2或者x=18,则|PQ|=根号[(xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2]=根号512=16根号2,PQ与MN垂直,则MPQ的面积S=1/2*|MN|*|PQ|=64