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(2008•孝感)锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0)(1)△ABC中边BC
题目详情
(2008•孝感)锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0)
(1)△ABC中边BC上高AD=______;
(2)当x=______时,PQ恰好落在边BC上(如图1);
(3)当PQ在△ABC外部时(如图2),求y关于x的函数关系式(注明x的取值范围),并求出x为何值时y最大,最大值是多少?
(1)△ABC中边BC上高AD=______;
(2)当x=______时,PQ恰好落在边BC上(如图1);
(3)当PQ在△ABC外部时(如图2),求y关于x的函数关系式(注明x的取值范围),并求出x为何值时y最大,最大值是多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)由BC=6,S△ABC=12,得AD=4;
(2)当PQ恰好落在边BC上时,
∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC.
∴
=
,
即
=
,x=2.4(或
);
(3)设BC分别交MP,NQ于E,F,则四边形MEFN为矩形.
设ME=NF=h,AD交MN于G(如图2)GD=NF=h,AG=4-h.
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC.
∴
=
,即
=
,
∴h=−
x+4.
∴y=MN•NF=x(-
x+4)=-
x2+4x(2.4<x<6),
配方得:y=-
(x-3)2+6.
∴当x=3时,y有最大值,最大值是6.
(2)当PQ恰好落在边BC上时,
∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC.
∴
MN |
BC |
AG |
AD |
即
x |
6 |
4−x |
4 |
12 |
5 |
(3)设BC分别交MP,NQ于E,F,则四边形MEFN为矩形.
设ME=NF=h,AD交MN于G(如图2)GD=NF=h,AG=4-h.
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC.
∴
MN |
BC |
AG |
AD |
x |
6 |
4−h |
4 |
∴h=−
2 |
3 |
∴y=MN•NF=x(-
2 |
3 |
2 |
3 |
配方得:y=-
2 |
3 |
∴当x=3时,y有最大值,最大值是6.
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