（2012•清远一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x

Question

（2012•清远一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
∵M是AD中点，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．（2分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，
∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．（4分）
∴△BMP∽△CPQ．
∴(PC)/(BM)＝(CQ)/(BP)．（5分）
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）
∴(x)/(4)＝(4−y)/(4−x)．
∴y=(1)/(4)x²-x+4．（7分）

（3）△PQC为直角三角形，
理由是：
∵y=(1)/(4)（x-2）²+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．（8分）
∴P是BC的中点，MP⊥BC而∠MPQ=60°．
∴∠CPQ=30°．
∴∠PQC=90°．
∴△PQC为直角三角形．（9分）