怎么求解含有δ函数的微分方程：C1f(4)(x)+C2f(2)(x)+C3f(x)=δ(x-x0).式中,C1,C2,C3,x0为常实数.f(4)(x)为f(x)的4阶导数,f(2)(x)为f(x)的2阶导数.

Question

怎么求解含有δ函数的微分方程：C1f(4)(x)+ C2f(2)(x)+ C3f (x)=δ(x-x0).
式中,C1,C2,C3,x0为常实数.f(4)(x)为f(x)的4阶导数,f(2)(x)为f(x)的2阶导数.

Answer 1

给个思路,先把右边当成0求解.4阶homogenous 方程,用特征方程c1m^4+c2m^2+c3=0,
求出m的值.这样方程会有4个未知数.
上面解法对xx0都适用,所以函数可以写成分段函数,各4个,共8个未知数.
然后利用函数本身,一阶,二阶都连续,三阶导数相差1/c1四个方程消去4个未知数.这样只掉4个,而4阶微分理论上有4个自由度.