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如图,已知抛物线y=ax2+b经过点A(4,4)和点B(0,-4).C是x轴上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点C在以AB为直径的圆上,求点C的坐标;(3)将点A绕C点逆时针旋转90°得
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如图,已知抛物线y=ax 2 +b经过点A(4,4)和点B(0,-4).C是x轴上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点C在以AB为直径的圆上,求点C的坐标; (3)将点A绕C点逆时针旋转90°得到点D,当点D在抛物线上时,求出所有满足条件的点C的坐标. |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=ax 2 +b的图象经过点A(4,4)和点B(0,-4), ∴
∴抛物线的解析式为: y=
(2)过点A作AE⊥x轴于E,连接AB交x轴于点M, OB=AE=4,∠MOB=∠AEM=90°,∠OMB=∠AME, ∴在△OMB与△EMA中, ∴
∴△OMB≌△EMA, ∴MB=MA,OM=ME=
∴以M为圆心,MB为半径的⊙M,即为以AB为直径的圆. 由勾股定理得 MB=
∴点C的坐标为 (2-2
(3)如图2,当点C在点(4,0)的右侧时, 作AE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F, ∵△ACD为等腰直角三角形, ∴AC=DC,∠ACD=90°,即∠ACF+∠DCF=90°, ∵∠FDC+∠DCF=90°, ∴∠ACF=∠FDC, 又∵∠DFC=∠AEC=90°, 在△DFC与△CEA中,
∴△DFC≌△CEA, ∴EC=DF,FC=AE, ∵A(4,4), ∴AE=OE=4, ∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF, ∴OF=CE, ∴OF=DF, 当点C与点(4,0)的重合时,点D与原点重合; 当点C在点(4,0)的左侧时,同理可得OF=DF; ∴综上所述,点D在直线y=-x的图象上. 设点C的坐标为(m,0), 则点D的坐标为(m-4,4-m),(13分) 又∵点D在抛物线 y=
∴ 4-m=
解得:m 1 =0,m 2 =6, ∴当点C的坐标为(6,0)或(0,0)时, 点D落在抛物线 y=
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