数域对减法和除法封闭设P为至少含两个数的数集,证明：若P对减法与除法封闭,则P为一个数域

Question

数域对减法和除法封闭
设P为至少含两个数的数集,证明：若P对减法与除法封闭,则P为一个数域

Answer 1

任意0≠a∈P,a-a=0∈P,所以0-a=-a∈P
a/a=1∈P,所以1/a∈P
任意a≠0,b∈P,b+a=b-(-a)∈P
b*a=b/(1/a)∈P
综上,若P对减法与除法封闭,则P对加法与乘法封闭