已知圆，点P为直线l：x=4上的动点．(I)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；(II)若点A(-2，0)，B(2，0)，直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定

Question

已知圆，点P为直线l：x=4上的动点．
(I)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
(II)若点A(-2，0)，B(2，0)，直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点(1，0)．____

Answer 1

【分析】根据题意，设P(4，t)．
(I)设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即，解得t=0，所以点P坐标为(4，0)，由此能够求出两切线所夹劣弧长．
(II)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，Q(1，0)，依题意，直线PA经过点A(-2，0)，P(4，t)，可以设，和圆x²+y²=4联立，代入消元得到，(t²+36)x²+4t²x+4t²-144=0，因为直线AP经过点A(-2，0)，M(x₁，y₁)，所以-2，x₁是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．

根据题意，设P(4，t)．
(I)设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即，(2分)
解得t=0，所以点P坐标为(4，0)．(3分)
在RtΔPOC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°．(4分)
所以两切线所夹劣弧长为．(5分)
(II)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，Q(1，0)，
依题意，直线PA经过点A(-2，0)，P(4，t)，
可以设，(6分)
直线AP的方程圆x²+y²=4联立，得，
消元得，(t²+36)x²+4t²x+4t²-144=0.(7分)
因为直线AP经过点A(-2，0)，M(x₁，y₁)，
所以-2，x₁是方程的两个根，
所以有，，(8分)
代入直线方程得，．(9分)
同理，设，联立方程有，
代入消元得到(4+t²)x²-4t²x+4t²-16=0，
因为直线BP经过点B(2，0)，N(x₂，y₂)，
所以2，x₂是方程的两个根，，，
代入得到．(11分)
若x₁=1，则t²=12，此时
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q(1，0)(12分)
若x₁≠1，则t²≠12，x₂≠1，
所以有，(13分)
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q(1，0)．
综上所述，直线MN经过定点Q(1，0)．(14分)

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解答．