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若定义在区间[-2015,2015]上的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈[-2015,2015],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2014,且x>0时,有f(x)>2014,f(x)的最大值、最小值分别为M,N,则M+N的值为
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若定义在区间[-2015,2015]上的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈[-2015,2015],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2014,且x>0时,有f(x)>2014,f(x)的最大值、最小值分别为M,N,则M+N的值为( )
A.2014
B.2015
C.4028
D.4030
A.2014
B.2015
C.4028
D.4030
▼优质解答
答案和解析
∵对于任意的x1,x2∈[-2015,2015],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2014,
∴令x1=x2=0,得f(0)=2014,
再令x1+x2=0,将f(0)=2014代入可得f(x)+f(-x)=4028.
设x1<x2,x1,x2∈[-2015,2015],
则x2-x1>0,f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-2014,
∴f(x2)+f(-x1)-2014>2014.
又∵f(-x1)=4028-f(x1),
∴可得f(x2)>f(x1),
即函数f(x)是递增的,
∴f(x)max=f(2015),f(x)min=f(-2015).
又∵f(2015)+f(-2015)=4028,
∴M+N的值为4028.
故选:C.
∴令x1=x2=0,得f(0)=2014,
再令x1+x2=0,将f(0)=2014代入可得f(x)+f(-x)=4028.
设x1<x2,x1,x2∈[-2015,2015],
则x2-x1>0,f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-2014,
∴f(x2)+f(-x1)-2014>2014.
又∵f(-x1)=4028-f(x1),
∴可得f(x2)>f(x1),
即函数f(x)是递增的,
∴f(x)max=f(2015),f(x)min=f(-2015).
又∵f(2015)+f(-2015)=4028,
∴M+N的值为4028.
故选:C.
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