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怎样求解一阶非线性微分方程具体例子如下:y''=e^(2y),y(0)=y'(0)=0:求其通解和初始条件下的特解,
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怎样求解一阶非线性微分方程 具体例子如下:y''=e^(2y),y(0)=y'(0)=0:求其通解和初始条件下的特解,
▼优质解答
答案和解析
这是二阶方程了.
可以设y'=p=dy/dx
则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
代入方程得:pdp/dy=e^(2y)
即pdp=e^(2y)dy
2pdy=e^(2y)d(2y)
积分:p^2=e^2y+c1
由y(0)=0,y'(0)=0,得:0=e^0+c1,得:c1=-1
因此有:p=√(e^2y-1)
得:dy/√(e^2y-1)=dx
左边积分为:令t=√(e^2y-1),得:y=1/2*ln(t^2+1),dy=tdt/.(t^2+1)
∫dt/(t^2+1)=arctant=arctan√(e^2y-1)
右边积分为:x+c2
因此有:arctan√(e^2y-1)=x+c2
代入y(0)=0得:arctan√0=c2=0
因此有:arctan√(e^2y-1)=x
即:√(e^2y-1)=tanx
y=1/2*ln[(tanx)^2+1]
可以设y'=p=dy/dx
则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
代入方程得:pdp/dy=e^(2y)
即pdp=e^(2y)dy
2pdy=e^(2y)d(2y)
积分:p^2=e^2y+c1
由y(0)=0,y'(0)=0,得:0=e^0+c1,得:c1=-1
因此有:p=√(e^2y-1)
得:dy/√(e^2y-1)=dx
左边积分为:令t=√(e^2y-1),得:y=1/2*ln(t^2+1),dy=tdt/.(t^2+1)
∫dt/(t^2+1)=arctant=arctan√(e^2y-1)
右边积分为:x+c2
因此有:arctan√(e^2y-1)=x+c2
代入y(0)=0得:arctan√0=c2=0
因此有:arctan√(e^2y-1)=x
即:√(e^2y-1)=tanx
y=1/2*ln[(tanx)^2+1]
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