已知抛物线y2=8x，过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤8．（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．

Question

已知抛物线y²=8x，过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤8．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．

Answer 1

（1）由题意可得直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y²=8x，得x²-2（a+4）x+a²=0，
设直线l与抛物线两个不同的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有△=4（a+4）²-4a²>0，且x₁+x₂=2（a+4），x₁•x₂=a²，
∵y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，∴|AB|=√((x1-x2)2+(y1-y2)2)=√((x1+x2)2-4x1•x2)=√(64(2+a))≤8，
故有0<64（2+a）≤64，求得-2<a≤-1．
（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x₃，y₃），则由中点坐标公式，得x₃=(x1+x2)/(2)=a+4，y₃=(y1+y2)/(2)=4，
∴|QM|²=（a+4-a）²+（4-0）²=32，
又△MNQ为等腰直角三角形，
∴|QN|=|QM|=4√(2)，故△NAB面积为(1)/(2)|AB|•|NQ|≤(1)/(2)×8×4√(2)=16√(2)，即△NAB面积的最大值为16√(2)．