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对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)和g(x)在D上是“密切函数”.给出定义域均为D={x|0≤x≤4}的四组函数如下:①f(x)=ln(x+1
题目详情
对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)和g(x)在D上是“密切函数”.给出定义域均为D={x|0≤x≤4}的四组函数如下:
①f(x)=ln(x+1),g(x)=; ②f(x)=x3,g(x)=3x-1;
③f(x)=ex-2x(其中e为自然对数的底数),g(x)=2-x;④f(x)=x-,g(x)=.
其中,函数f(x)和g(x)在D上为“密切函数”的是________.
①f(x)=ln(x+1),g(x)=; ②f(x)=x3,g(x)=3x-1;
③f(x)=ex-2x(其中e为自然对数的底数),g(x)=2-x;④f(x)=x-,g(x)=.
其中,函数f(x)和g(x)在D上为“密切函数”的是________.
▼优质解答
答案和解析
对于①,设h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-,
∴≥0
∵0≤x≤4
∴h(x)在[0,4]上单调增,
∵h(0)=0,h(4)=
∵
∴对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,
∴函数f(x)和g(x)在D上为“密切函数”;
对于②,设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x+1,
∴h′(x)=3x2-3
∵0≤x≤4
∴0≤x≤1,h′(x)≤0,1≤x≤4,h′(x)≥0
∵h(0)=1,h(1)=-1,h(4)=53
∴函数在x=1时,取得最小值-1;在x=4时,取得最大值53,
故不满足对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1;
对于③,设h(x)=f(x)-g(x)=ex-x-2,
∴h′(x)=ex-1
∵0≤x≤4
∴h′(x)≥0
∴h(x)在[0,4]上单调增,
∵h(0)=-1,h(4)=e4-6
∵e4-6>1
∴不满足对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1;
对于④,设h(x)=f(x)-g(x)=x--.x=0时满足题意
x≠0时,
∵0<x≤4
∴
∴
∴h(x)在[0,4]上单调增,
∵h(0)=-,h(4)=
∴对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,
∴函数f(x)和g(x)在D上为“密切函数”;
故答案为:①④
∴≥0
∵0≤x≤4
∴h(x)在[0,4]上单调增,
∵h(0)=0,h(4)=
∵
∴对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,
∴函数f(x)和g(x)在D上为“密切函数”;
对于②,设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x+1,
∴h′(x)=3x2-3
∵0≤x≤4
∴0≤x≤1,h′(x)≤0,1≤x≤4,h′(x)≥0
∵h(0)=1,h(1)=-1,h(4)=53
∴函数在x=1时,取得最小值-1;在x=4时,取得最大值53,
故不满足对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1;
对于③,设h(x)=f(x)-g(x)=ex-x-2,
∴h′(x)=ex-1
∵0≤x≤4
∴h′(x)≥0
∴h(x)在[0,4]上单调增,
∵h(0)=-1,h(4)=e4-6
∵e4-6>1
∴不满足对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1;
对于④,设h(x)=f(x)-g(x)=x--.x=0时满足题意
x≠0时,
∵0<x≤4
∴
∴
∴h(x)在[0,4]上单调增,
∵h(0)=-,h(4)=
∴对任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,
∴函数f(x)和g(x)在D上为“密切函数”;
故答案为:①④
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