若f(0)=0,且f(0)'存在求limf(1-cosx)/tan(x^2)

Question

若f(0)=0,且f(0)'存在 求limf(1-cosx)/tan(x^2)

Answer 1

x趋于0的时候,1-cosx和x^2也趋于0,
那么分母tan(x^2)就等价于x^2,
所以
原极限
=lim(x->0) f(1-cosx) / x^2 使用洛必达法则,对分子分母同时求导
=lim(x->0) f '(1-cosx) *(1-cosx)' / 2x
显然(1-cosx)'= sinx
那么
原极限
=lim(x->0) f '(1-cosx) *(1-cosx)' / 2x
=lim(x->0) f '(1-cosx) *sinx /2x
x趋于0时,sinx /x=1,而1-cosx=0
故
原极限= 1/2 * f '(0)