（2014•丹徒区模拟）如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ，设AP=x．（1）BQ+DQ的最小值是22．此时x的值是2−12−1．（2）

Question

（2014•丹徒区模拟）如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ，设AP=x．
（1）BQ+DQ的最小值是

√(2)

√(2)

．此时x的值是

√(2)−1

√(2)−1

．
（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD=90°．
     ①求证：点E是CD的中点；②求x的值．
（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．

Answer 1

（1）答：√(2)，√(2)−1．

（2）①证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC=∠EQB-∠CQB=∠ECB-∠QCB=∠ECQ，
∴EQ=EC．
在Rt△QDC中，
∵∠QDE=90°-∠QCE，
∠DQE=90°-∠EQC，
∴∠QDE=∠DQE，
∴EQ=ED，
∴CE=EQ=ED，即E为CD的中点．
②∵AP=x，AD=1，
∴PD=1-x，PQ=x，CD=1．
在Rt△DQC中，
∵E为CD的中点，
∴DE=QE=CE=(1)/(2)，
∴PE=PQ+QE=x+(1)/(2)，
∴(x+(1)/(2))2＝(1−x)2+((1)/(2))2，
解得 x=(1)/(3)．

（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2-√(3)，(√(3))/(3)，2+√(3)．
（分析如下：以下内容作答不要求书写）
如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q₁，Q₃．此时△CDQ₁，△CDQ₃都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q₂，此时△CDQ₂以CD为底的等腰三角形．

以下对此Q₁，Q₂，Q₃．分别讨论各自的P点，并求AP的值．

①讨论Q₁，如图作辅助线，连接BQ₁、CQ₁，作PQ₁⊥BQ₁交AD于P，过点Q₁，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ₁为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴

作业帮用户 2017-10-28