已知a，b，c分别是△ABC的中角A，B，C的对边，acsinA+4sinC=4csinA．（1）求a的值；（2）圆O为△ABC的外接圆（O在△ABC内部），△OBC的面积为33，b+c=4，判断△ABC的形状，并说明理由．

Question

已知a，b，c分别是△ABC的中角A，B，C的对边，acsinA+4sinC=4csinA．
（1）求a的值；
（2）圆O为△ABC的外接圆（O在△ABC内部），△OBC的面积为(√(3))/(3)，b+c=4，判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）△ABC的中，∵acsinA+4sinC=4csinA，∴a²c+4c=4ac，∴a=2．
（2）∵圆O为△ABC的外接圆（O在△ABC内部），设BC的中点为D，
∵△OBC的面积为 (1)/(2)•BC•OD=(1)/(2)•a•OD=(1)/(2)•2•OD=(√(3))/(3)，∴OD=(√(3))/(3)，
即△ABC的外接圆的半径r=(√(3))/(3)，∴∠BOC=120°，∴∠A=60°．
∵b+c=4，由余弦定理可得cosA=(1)/(2)=(b2+c2-a2)/(2bc)=((b+c)2-2bc-4)/(2bc)=(16-2bc-4)/(2bc)，
求得bc=4，故b=c=2，故此时，△ABC为等边三角形．