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(2008•南充)如图,已知平面直角坐标系xoy中,有一矩形纸片OABC,O为坐标原点,AB∥x轴,B(3,),现将纸片按如图折叠,AD,DE为折痕,∠OAD=30度.折叠后,点O落在点O1,点C落在线段AB点C
题目详情
(2008•南充)如图,已知平面直角坐标系xoy中,有一矩形纸片OABC,O为坐标原点,AB∥x轴,B(3,),现将纸片按如图折叠,AD,DE为折痕,∠OAD=30度.折叠后,点O落在点O1,点C落在线段AB点C1处,并且DO1与DC1在同一直线上.
(1)求折痕AD所在直线的解析式;
(2)求经过三点O,C1,C的抛物线的解析式;
(3)若⊙P的半径为R,圆心P在(2)的抛物线上运动,⊙P与两坐标轴都相切时,求⊙P半径R的值.
(1)求折痕AD所在直线的解析式;
(2)求经过三点O,C1,C的抛物线的解析式;
(3)若⊙P的半径为R,圆心P在(2)的抛物线上运动,⊙P与两坐标轴都相切时,求⊙P半径R的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据B点的坐标即可得出A点的坐标,也就知道了OA的长,可在直角三角形OAD中,根据OA的长和∠OAD的度数求出OD的长,即可得出D点的坐标,进而可用待定系数法求出直线AD的解析式.
(2)本题的关键是求出C1的横坐标,可过C1作x轴的垂线,由于∠ADO=∠AOC1=60°,因此可得出∠C1DC=60°,因此可在构建的直角三角形中用BC的长和∠C1DC的度数来求出C1的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)由于圆P与两坐标轴都相切,如果设P点的坐标为(x、y),则有|x|=|y|,进而可联立抛物线的解析式求出P点的坐标.也就得出了圆的半径的长.
【解析】
(1)由已知得
OA=,∠OAD=30度.
∴OD=OA•tan30°==1,
∴A(0,),D(1,0)
设直线AD的解析式为y=kx+b.
把A,D坐标代入上式得:
,
解得:,
折痕AD所在的直线的解析式是y=-x+.
(2)过C1作C1F⊥OC于点F,
由已知得∠ADO=∠ADO1=60°,
∴∠C1DC=60°.
又∵DC=3-1=2,
∴DC1=DC=2.
∴在Rt△C1DF中,C1F=DC1•sin∠C1DF=2×sin60°=.
则DF=DC1=1,
∴C1(2,),而已知C(3,0).
设经过三点O,C1,C的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,(a≠0).
把O,C1,C的坐标代入上式得:,
解得,
∴y=-x2+x为所求.
(3)设圆心P(x,y),则当⊙P与两坐标轴都相切时,有y=±x.
由y=x,得-x2+x=x,解得x1=0(舍去),.
由y=-x,得-x2+x=-x解得x1=0(舍去),.
∴所求⊙P的半径R=3-或R=3+.
(2)本题的关键是求出C1的横坐标,可过C1作x轴的垂线,由于∠ADO=∠AOC1=60°,因此可得出∠C1DC=60°,因此可在构建的直角三角形中用BC的长和∠C1DC的度数来求出C1的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)由于圆P与两坐标轴都相切,如果设P点的坐标为(x、y),则有|x|=|y|,进而可联立抛物线的解析式求出P点的坐标.也就得出了圆的半径的长.
【解析】
(1)由已知得
OA=,∠OAD=30度.
∴OD=OA•tan30°==1,
∴A(0,),D(1,0)
设直线AD的解析式为y=kx+b.
把A,D坐标代入上式得:
,
解得:,
折痕AD所在的直线的解析式是y=-x+.
(2)过C1作C1F⊥OC于点F,
由已知得∠ADO=∠ADO1=60°,
∴∠C1DC=60°.
又∵DC=3-1=2,
∴DC1=DC=2.
∴在Rt△C1DF中,C1F=DC1•sin∠C1DF=2×sin60°=.
则DF=DC1=1,
∴C1(2,),而已知C(3,0).
设经过三点O,C1,C的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,(a≠0).
把O,C1,C的坐标代入上式得:,
解得,
∴y=-x2+x为所求.
(3)设圆心P(x,y),则当⊙P与两坐标轴都相切时,有y=±x.
由y=x,得-x2+x=x,解得x1=0(舍去),.
由y=-x,得-x2+x=-x解得x1=0(舍去),.
∴所求⊙P的半径R=3-或R=3+.
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