已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别记为M1，M2（Ⅰ）求△FM1M2面积的最小值：（Ⅱ）求线段M1M2

Question

已知抛物线C：y²=4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点P₁，P₂和点P₃，P₄，线段P₁P₂，P₃P₄的中点分别记为M₁，M₂
（Ⅰ）求△FM₁M₂面积的最小值：
（Ⅱ）求线段M₁M₂的中点P满足的方程．

Answer 1

（Ⅰ）抛物线的焦点坐标为（1，0），
设直线的方程P₁P₂为y=k（x-1），与y²=4x联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴M₁（1+(2)/(k2)，(2)/(k)）
同理M₂（1+2k²，-2k），
∴kM1M2=(k)/(1-k2)（k≠±1）
∴直线M₁M₂方程为y-(2)/(k)=(k)/(1-k2)（x-1-(2)/(k2)），即y=(k)/(1-k2)（x-3），
结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（3，0）．
根据对称性，当且仅当k=±1时，△FM₁M₂面积最小，此时，M₁（3，2），M₂（3，-2）
∴△FM₁M₂面积的最小值为(1)/(2)×4×2=4
（Ⅱ）设线段M₁M₂的中点P（x，y）
则x=1+(1)/(k2)+k²，y=(1)/(k)-k，消去参数可得y²=x-3．