设X1,X2,...,Xn是来自正态总体X~N（µ,σ^2）的简单随机样本,为使D=k∑(Xi+1-Xi)^2成为总体方差σ^2的无偏估计量,应选k=（）A、1/(n-1)B、1/nC、1/2（n-1）D、1/2n

Question

设X1,X2,...,Xn是来自正态总体X~N（µ,σ^2）的简单随机样本,为使D=k∑(Xi+1-Xi)^2成为总体方差σ^2的无偏估计量,应选k=（）
A、1/(n-1) B、1/n C、1/2（n-1） D、1/2n

Answer 1

每个Xi都有Xi~N（µ,σ^2）
所以E(Xi+1-Xi)^2 = E(Xi+1^2)-2E(Xi+1*Xi)+E(Xi^2)
E(X^2)=σ^2+E(x)^2=σ^2+u^2
上式化为E(Xi+1-Xi)^2 =(σ^2+u^2)-2u^2+(σ^2+u^2)=2σ^2
所以D=k∑(Xi+1-Xi)^2 = k(n-1)*2σ^2 = σ^2 (注意因为求和是i从1取到n-1,只有n-1项)
所以选C