如图，等边△ABC中，AB=6，将一直角三角板DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动（不与B、C重合），移动过程中，始终满足直角边DE经过点A，斜边EF交AC于点G．（1）求证：△ABE∽△ECG；（2）探究

Question

如图，等边△ABC中，AB=6，将一直角三角板DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动（不与B、C重合），移动过程中，始终满足直角边DE经过点A，斜边EF交AC于点G．
（1）求证：△ABE∽△ECG；
（2）探究：在点E移动过程中，两三角形重叠部分能否构成等腰三角形？
（3）当线段AG最短时，求重叠部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠AEG=60°，
∴∠AEB+∠CEG=180°-∠AEG=120°，∠AEB+∠BAE+=180°-∠B=120°，
∴∠BAE=∠CEG，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECG；

（2）在点E移动过程中，两三角形重叠部分不能构成等腰三角形，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∵∠AEG=60°，∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEG，
∴AE＞AG，即AE和AG不相等；
∵∠EAG＜∠BAC，∠AGE＞∠C，∠BAC=∠C=60°，
∴∠EAG＜∠AGE，
∴AE＞EG，即AE和EG不相等；
∵∠EAG＜∠BAC，∠BAC=∠AEG=60°，
∴∠AEG＜∠EAG，
∴AG＞EG，即AG和EG不相等，
即在点E移动过程中，两三角形重叠部分不能构成等腰三角形；

（3）设BE=x，则CE=6-x，
∵△ABE∽△ECG，
∴(CG)/(BE)=(CE)/(AB)，
∴(CG)/(x)=(6−x)/(6)，
∴CG=-(1)/(6)x²+x=-(1)/(6)（x-3）²+(3)/(2)，
∴当x=3时，CG最长为(3)/(2)，AG最短为6-(3)/(2)=4.5，
又∵当BE=3时，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠AEF=60°=∠C，
∴∠CEG=30°，
∴∠EGC=180°-60°-30°=90°，
∴EF⊥AC，
∴EG=CE•sin60°=(3√(3))/(2)，
∴S_△AEG=(1)/(2)×(3√(3))/(2)×(9)/(2)=(27√(3))/(8)．