早教吧作业答案频道 -->数学-->
高数………………设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f'(0)=……=f^(n-1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:f(x)/x^n=f^(n)(ax)/n!(0
题目详情
高数………………
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f'(0)=……=f^(n-1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:f(x)/x^n=f^(n)(ax)/n!(0
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f'(0)=……=f^(n-1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:f(x)/x^n=f^(n)(ax)/n!(0
▼优质解答
答案和解析
令g(x) = x^n,则 g^(k)(x) = A(n,k) x^(n-k),其中A(n,k) 为排列数,即A(n,k) = n!/ (n-k)!.
则g(0)=g'(0)=……=g^(n-1)(0)=0,g^(n) = n!.
f(x)/x^n = f(x)/g(x) = [f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)]
因为 g(b1 * x) 0,b1在(0,1)之间,因此柯西中值定理可得
f(x)/g(x) = [f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)] = f'(a1 * x) / g'(a1 * x),a1在(0,1)之间
反复用n次柯西定理可得
[f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)] = f'(a1 * x) / g'(a1 * x) =...=f^(n)(an * x) / g^(n)(an * x),an 在(0,1)之间
因为g^(n) (x) = n!
所以
f(x)/g(x) = [f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)] = f^(n)(an * x) / g^(n)(an * x) = f^(n) (an * x) / n!
原题得证
则g(0)=g'(0)=……=g^(n-1)(0)=0,g^(n) = n!.
f(x)/x^n = f(x)/g(x) = [f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)]
因为 g(b1 * x) 0,b1在(0,1)之间,因此柯西中值定理可得
f(x)/g(x) = [f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)] = f'(a1 * x) / g'(a1 * x),a1在(0,1)之间
反复用n次柯西定理可得
[f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)] = f'(a1 * x) / g'(a1 * x) =...=f^(n)(an * x) / g^(n)(an * x),an 在(0,1)之间
因为g^(n) (x) = n!
所以
f(x)/g(x) = [f(x) - f(0)] / [g(x) - g(0)] = f^(n)(an * x) / g^(n)(an * x) = f^(n) (an * x) / n!
原题得证
看了 高数………………设函数y=f...的网友还看了以下:
还是lingo问题road(country,country):length,xie,c;endse 2020-05-13 …
ansys直接建立有限元模型问题finish/clear/prep7n,1,0,0,0n,2,0, 2020-05-17 …
连续39个自然数都是100以内(可以包括100)的数,0,29,38,47,56,65,74,83 2020-05-21 …
一道难度很大的数学探究题在平面直角坐标系中,直线Y=KX+B交X轴于B点(B大于0,K小于0),交 2020-06-13 …
我们平时用的是十进制数,如:3215=3*10的次+2*10的2次方+1*10+5,表示十进制的数 2020-07-04 …
计算机三级,填空题:下表为一路由器的路由表,如果该路由器接收到一个目的地址为130.3.25.8的 2020-07-17 …
一个六位数,个位上是最小的质数,十位上是最小的合数,万位上的数既是质数又是偶数,十万位上的数是一位 2020-07-30 …
除法法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.1.除 2020-07-30 …
我买双色球一年多,每期买一注单式,只中过三次5元,而且都中的是0+1,多数时候是0+0连1+0都很少 2020-11-21 …
在横线里填上适当的数.①0.28是位小数,0.28中的8在位上,表示8个.②由3个10,7个1,2个 2021-02-01 …