探索新知已知平面上有n（n为大于或等于2的正整数）个点A1，A2，A3，…An，从第1个点A1开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑

Question

【探索新知】
已知平面上有n（n为大于或等于2的正整数）个点A₁，A₂，A₃，…A_n，从第1个点A1开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A₁，我们称此滑动为“完美运动”，且称所有点为“完美运动”的滑动点，记完成n个点的“完美运动”的路程之和为S_n．
（1）如图1，滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点，此时S₃=___；
（2）如图2，滑动点是边长为a，对角线（线段A₁A₂、A₂A₄）长为b的正方形四个顶点，此时S₄=___．
【深入研究】
现有n个点恰好在同一直线上，相邻两点距离都为1，
（3）如图3，当n=3时，直线上的点分别为A₁、A₂、A₃．
为了完成“完美运动”，滑动的步骤给出如图4所示的两种方法：
方法1：A₁→A₃→A₂→A₁，方法2：A₁→A₂→A₃→A₁．
①其中正确的方法为___．
A．方法1    B．方法2    C．方法1和方法2
②完成此“完美运动”的S₃=___．
（4）当n分别取4，5时，对应的S₄=___，S₅=___．
（5）若直线上有n个点，请用含n的代数式表示S_n．

Answer 1

（1）如图1，∵滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点，
∴S₃=3a，
故答案为：3a；

（2）如图2，∵滑动点是边长为a，对角线长为b的正方形四个顶点，
∴S₄=2a+2b，
故答案为：2a+2b；

（3）如图4，①∵方法2 是错的，不满足第①个条件，每一次距离要是最大的，
∴方法1正确，
故选A；
②如图3，S₃=2+1+1=4，
故答案为：4；

（4）根据条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A₁，可得：
S₄=3+2+1+2=8，
S₅=4+3+2+1+2=12，
故答案为：8，12；

（5）n 为奇数时：S_n=n-1+n-2+…+1+(n+1)/(2)-1=(n2-1)/(2)；
n 为偶数时：S_n=n-1+n-2+…+1+(n)/(2)=(n2)/(2)．