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(2007•黑龙江)在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论:PD+PE+PF=AB.请直接应用
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(2007•黑龙江)在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论:PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P分别在△ABC内(如图2),△ABC外(如图3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.
请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P分别在△ABC内(如图2),△ABC外(如图3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.
▼优质解答
答案和解析
图2结论:PD+PE+PF=AB.
证明:过点P作MN∥BC分别交AB,AC于M,N两点,
∵PE∥AC,PF∥AB,
∴四边形AEPF是平行四边形,
∵MN∥BC,PF∥AB
∴四边形BDPM是平行四边形,
∴AE=PF,∠EPM=∠ANM=∠C,
∵AB=AC,
∴∠EMP=∠B,
∴∠EMP=∠EPM,
∴PE=EM,
∴PE+PF=AE+EM=AM.
∵四边形BDPM是平行四边形,
∴MB=PD.
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,
即PD+PE+PF=AB.
图3结论:PE+PF-PD=AB.
证明:过点P作MN∥BC分别交AB,AC于M,N两点,
∵PE∥AC,PF∥AB,
∴四边形AEPF是平行四边形,
∵MN∥BC,PF∥AB
∴四边形BDPM是平行四边形,
∴AE=PF,∠EPM=∠ANM=∠C,
∵AB=AC,
∴∠EMP=∠B,
∴∠EMP=∠EPM,
∴PE=EM,
∴PE+PF=AE+EM=AM.
∵四边形BDPM是平行四边形,
∴MB=PD.
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,
即PD+PE+PF=AB.
图3结论:PE+PF-PD=AB.
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