探索与证明：如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上的中点，EF⊥AE于点E，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF；（2）如果点E是BC边上异于B、C的任意一点，其他条件不变，AE=E

Question

探索与证明：
如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上的中点，EF⊥AE于点E，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）求证：AE=EF；
（2）如果点E是BC边上异于B、C的任意一点，其他条件不变，AE=EF吗？并证明．

Answer 1

（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示：
则AH=BH=(1)/(2)AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∵点E是BC上的中点，
∴BE=CE=(1)/(2)BC，
∴AH=BH=BE=CE，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠AEB=90°，
∵∠1+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，

∠1=∠2

AH=CE

∠AHE=∠ECF

，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2） AE=EF；理由如下：
在AB上截取BH=BE，连接HE，如图2所示：
则△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，
∴BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∴∠1+∠HEA=45°，
由（1）得：∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠1+∠CEF=45°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，

∠1=∠2

AH=CE

∠AHE=∠ECF

，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．