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已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m=0.(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)此方程有一个根是-3,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3
题目详情
已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m=0.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)此方程有一个根是-3,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位,得到一个新的抛物线,当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时,求b的值.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)此方程有一个根是-3,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位,得到一个新的抛物线,当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时,求b的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△=(4-m)2-4(1-m)
=m2-4m+12
=(m-2)2+8,
∴△>0,
∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)把x=-3代入x2+(4-m)x+1-m=0,
得:9-3(4-m)+1-m=0,
解得m=1,
∴y=x2+3x.
即y=(x+
)2-
.
依题意,可知新的抛物线的解析式为y′=(x-
)2-
.
即y'=x2-3x,
∵抛物线y'与直线y=x+b只有一个公共点,
∴x2-3x=x+b,
即x2-4x-b=0.
∵△=0.
∴(-4)2-4×(-b)=0.
解得:b=-4.
=m2-4m+12
=(m-2)2+8,
∴△>0,
∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)把x=-3代入x2+(4-m)x+1-m=0,
得:9-3(4-m)+1-m=0,
解得m=1,
∴y=x2+3x.
即y=(x+
3 |
2 |
9 |
4 |
依题意,可知新的抛物线的解析式为y′=(x-
3 |
2 |
9 |
4 |
即y'=x2-3x,
∵抛物线y'与直线y=x+b只有一个公共点,
∴x2-3x=x+b,
即x2-4x-b=0.
∵△=0.
∴(-4)2-4×(-b)=0.
解得:b=-4.
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