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如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且AB+BC=2BE.(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;(2)若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换,结论还成立吗?请说明理由.
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如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且AB+BC=2BE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bf096b63f6246b6074214ac5e8f81a4c510fa250.jpg)
(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;
(2)若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换,结论还成立吗?请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bf096b63f6246b6074214ac5e8f81a4c510fa250.jpg)
(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;
(2)若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换,结论还成立吗?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过D作DF⊥BA,垂足为F,
∵AB+BC=2BE,
∴AB=BE+BE-BC,
AB=BE+BE-BE-EC,
AB=BE-EC,
AB+EC=BE,
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在Rt△BFD和Rt△BED中
,
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
又∵AB+EC=BE,
∴AF=EC,
在△AFD和△CED中
,
∴△AFD≌△CED(SAS),
∴∠DCE=∠FAD,
∵∠BAD+∠FAD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°;
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b2de9c82d158ccbfb5a74d8b1ad8bc3eb135416c.jpg)
(2) 可以互换,结论仍然成立.理由如下:
过D作DF⊥BA,垂足为F,
∵∠BAD+∠FAD=180°,∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD,
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在△AFD和△CED中
,
∴△AFD≌△CED(AAS),
∴AF=EC,
在Rt△BFD和Rt△BED中
,
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
AB=BE-AF=BE-EC=BE-(BC-BE)=BE-BC+BE=2BE-BC,
即:AB+BC=2BE.
∵AB+BC=2BE,
∴AB=BE+BE-BC,
AB=BE+BE-BE-EC,
AB=BE-EC,
AB+EC=BE,
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在Rt△BFD和Rt△BED中
|
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
又∵AB+EC=BE,
∴AF=EC,
在△AFD和△CED中
|
∴△AFD≌△CED(SAS),
∴∠DCE=∠FAD,
∵∠BAD+∠FAD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°;
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b2de9c82d158ccbfb5a74d8b1ad8bc3eb135416c.jpg)
(2) 可以互换,结论仍然成立.理由如下:
过D作DF⊥BA,垂足为F,
∵∠BAD+∠FAD=180°,∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD,
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在△AFD和△CED中
|
∴△AFD≌△CED(AAS),
∴AF=EC,
在Rt△BFD和Rt△BED中
|
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
AB=BE-AF=BE-EC=BE-(BC-BE)=BE-BC+BE=2BE-BC,
即:AB+BC=2BE.
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