设m>0,n>0,m+n=2,则（4/m^2-1)(4/n^2-1)的最小值是多少?

Question

设m>0,n>0,m+n=2,则（4/m^2-1)(4/n^2-1)的最小值是多少?

Answer 1

化简因式:(4-m²)(4-n²)/(mn)²
=(16-4n²-4m²+m²n²)/(mn)²
=1+(16-4(m²+n²))/(mn)²
由于m+n=2 得到:m²+n²=4-2mn
带入上面得:原式=1+8/(mn),
因为m>0,n>0,所以当m和n趋向于无穷大时,原式最小,最小值为1