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(2002•东城区)已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.(l)求证:PA•PB=PO•PE;(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.
题目详情
(2002•东城区)已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.
(l)求证:PA•PB=PO•PE;
(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6e77cb765a84cb39dbb6fd3c4b.jpg)
(l)求证:PA•PB=PO•PE;
(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6e77cb765a84cb39dbb6fd3c4b.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)欲证PA•PB=PO•PE,而这四条线段根本构不成相似三角形,因此需要转化,根据切割线定理,PD•PC=PA•PB,所以原题可转化为证明PO•PE=PD•PC,即证△DPO∽△EPC,而这两个三角形现在共用一个角P,且根据弧AD=弧AF=
弧DF,可证∠AOD=∠DCF即∠POD=∠PCE,因此得出相似,从而找出比例线段,得到等积式;
(2)由图可知,CF=CE+EF,而由垂径定理可知DE=EF,所以只要求出DE和CE即可,欲求CE,可通过证明△DHO∽△DEC,运用比例线段进行求解,至于DE,则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形,而DH和HE则可通过勾股定理求出,从而求出CF的值.
(1)证明:连接OD.
∵AB是⊙O的直径,且DF⊥AB于D点H,
∴
=
=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738d73781e92b61bb051f819ec54.jpg)
.
∴∠AOD=∠DCF.
∴∠POD=∠PCE.
∵∠DPO=∠EPC,
∴△DPO∽△EPC.
∴
.
即PO•PE=PD•PC.
又PD•PC=PA•PB,
∴PA•PB=PO•PE.
(2)【解析】
由(1)知:
AB是弦DF的垂直平分线,
∴DE=EF.
∴∠DEA=∠FEA.
∵DE⊥CF,
∴∠DEA=∠FEA=45°.
∴∠FEA=∠CEP=45°.
∵∠P=15°,
∴∠AOD=60°.
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°,OD=2,
∴OH=1,DH=
.
∵△DHE是等腰直角三角形,
∴DE=
.
又∵∠AOD=∠DCF,∠DHO=∠DEC=90°,
∴△DHO∽△DEC.
∴
.
∴
.
∴EC=
.
∴CF=CE+EF=CE+DE=
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d1160924ab18972b61c2137ae3cd7b899f510a81.jpg)
(2)由图可知,CF=CE+EF,而由垂径定理可知DE=EF,所以只要求出DE和CE即可,欲求CE,可通过证明△DHO∽△DEC,运用比例线段进行求解,至于DE,则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形,而DH和HE则可通过勾股定理求出,从而求出CF的值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/43a7d933c895d1431244f69376f082025aaf074b.jpg)
∵AB是⊙O的直径,且DF⊥AB于D点H,
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/faedab64034f78f03cf389437c310a55b2191c81.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b64543a98226cffccbd2ac02bc014a90f703ea82.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738d73781e92b61bb051f819ec54.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8601a18b87d6277f75ea21882d381f30e824fc82.jpg)
∴∠AOD=∠DCF.
∴∠POD=∠PCE.
∵∠DPO=∠EPC,
∴△DPO∽△EPC.
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/562c11dfa9ec8a139d284550f203918fa0ecc054.jpg)
即PO•PE=PD•PC.
又PD•PC=PA•PB,
∴PA•PB=PO•PE.
(2)【解析】
由(1)知:
AB是弦DF的垂直平分线,
∴DE=EF.
∴∠DEA=∠FEA.
∵DE⊥CF,
∴∠DEA=∠FEA=45°.
∴∠FEA=∠CEP=45°.
∵∠P=15°,
∴∠AOD=60°.
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°,OD=2,
∴OH=1,DH=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1c950a7b02087bf4f2144459f7d3572c10dfcf82.jpg)
∵△DHE是等腰直角三角形,
∴DE=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/10dfa9ec8a1363276216d183948fa0ec09fac782.jpg)
又∵∠AOD=∠DCF,∠DHO=∠DEC=90°,
∴△DHO∽△DEC.
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/09fa513d269759ee35ab737bb7fb43166c22df82.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4e4a20a4462309f78194bea2770e0cf3d6cad682.jpg)
∴EC=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d52a2834349b033b72a5ee6a10ce36d3d539bd54.jpg)
∴CF=CE+EF=CE+DE=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d3d539b6003af30a97ced0302ac65c1038b654.jpg)
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